Por qué no hay solución general de la ecuación de quinto grado

#1   Ni la habrá, con tanta reforma educativa...

#2   Yo cada mañana me lo pregunto. Pero luego me casco una paja y se me pasa.

#3   ¿Han probado con la cuenta de la Vieja?

¿La crisis es una ecuación de quinto grado?

#4   Me encanta ver cómo en Menéame cuando sale un artículo durillo sobre matemáticas o física, todos meneamos porque el tema nos parece importante, pero luego hay pocos comentarios y de los que hay, la mayoría son paridas.

Vamos, que no nos enteramos mucho pero ponemos voluntad.

#5   Pues ya que el autor sabe tanto de matemáticas, me gustaría saber cual es la solución general de una ecuación polinómica multivariable trilineal; que tiene la forma:

A + Bx + Cy + Dz + Exy + Fxz + Gxy + Hxyz = 0

Se supone que degenera en una de tercer order.

#6   Qué bien sientan estas cosas por la mañana.

#7   Yo me llamo Ralph. spd.fotolog.com/photo/45/11/63/logios/1206657109_f.jpg

#8   Es tremendo que el conocimiento pueda producir sorna y mofa... A veces viene bien desconectar de la amarga realidad y fascinarse con preguntas como esta.

#9   Os reis de estas cosas, porque no habeis estudiado Algebra II, y Teoria de grupos.

Sin duda de las asignaturas mas dificiles de Matematicas.

#10   Iteración de punto fijo, con esto se solucionan casi todas ecuaciones.

#11   Ah, los grupos abelianos, que recuerdos

A mí, de los estudios se me quedó más lo de la irresubilidad de ciertas diferenciales.

Y como parte provechosa de las matemáticas, las matrices.

#12   Sinceramente me centraría en resolver ecuaciones de n-grado, una vez conseguido solo bastaría igualar n a 5.

#13   Yo recuerdo que habia que intentar reducirlas con Ruffini y luego ya intentar atacar. Y si no funciona se hace una aproximación con Bolzano y fuera.

#14   #5 Es trivial y no te vamos a hacer los deberes

#15   #5 Eso no tiene nada que ver con el post...
Esa ecuación representa de forma implícita una superficie en el espacio tridimensional.
Para simplificar y que lo veas más claro, en el caso de que quitases los términos no lineales, haciendo E=F=G=H=0, entonces representaría un plano, donde para cada (x,y) con z=-(A+Bx+Cy)/D se se verificaría la ecuación, siendo esos 3 valores las coordenadas de un punto contenido en ese plano.
Del mismo modo, en el caso general, se cumple la ecuación para los puntos del tipo (x,y, -(A+Bx+Cy+Exy)/(D+Fx+Gy+Hxy))
(supongo que querrías decir Gxz) donde se ve que la 3ª coordenada "no es directamente proporcional" a las otras 2. Eso pasa por igualarlo a cero, pues si lo tomas como una función puede representar una función de interpolación en un cubo unidad si las 3 coordenadas están entre 0 y 1 (las constantes serían los 8 grados de libertad que dispones para establecer los valores en los vértices del cubo).

Lo de que "degenera en una de tercer orden" será imponiendo alguna condición más (p.e. x=y=z, que representaría la intersección de esa superficie con la recta x=y=z)

#16   Ante esto sólo cabe decir ...  

#17   #15 Si es Gxz.

Es un sistema de tres ecuaciones. Utilizo las mayúsculas para representar vectores.

#18   #15 Para que lo veas más claro el sistema es:

a0 + b0x + c0y + d0z + e0xy + f0yz + g0xz + h0xyz
a1 + b1x + c1y + d1z + e1xy + f1yz + g1xz + h1xyz
a2 + b2x + c2y + d2z + e2xy + f2yz + g2xz + h2xyz

Una ecuación bilinear se resuelve fácil por sustitución, pero para la trilinear no encuentro otro método más que un Newton Rapshon, que no me ofrece la solución general.

#19   Seguro que Rajoy tiene algo que ver en esto, en serio.

#20   Despues de leer algunos comentarios me paso a letras...

#21   rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,54334.0.html

#22   #18 Aunque sean matrices sigue cumpliéndose que (D+Fx+Gy+Hxy)z=-(A+Bx+Cy+Exy), pero para despejar 'z' ahora no puedes dividir como cuando era una ecuación, sino que hay que multiplicar ambos miembros por la inversa de lo que multiplica a 'z' (siendo consciente de que hay que colocar convenientemente matrices identidad para que todo sea coherente).

#23   #22 Si despejas z, te queda un sistema polinómico de dos variables de segundo orden, que no conozco la manera de resolver. Alguien me ha comentado que el método habitual para encontrar las raices de sistemas polinómicos de dos variables es utilizar funciones basis de Göbner. Pero eso se me escapa a mis pobres conocimientos matemáticos.

#24   Yo juraría que mediante matrices es posible resolver n ecuaciones con n incógnitas

#25   #24 Si el sistema es lineal, puedes aplicar Cramer, pero con funciones de orden dos o mayor, generalmente no es un sistema lineal.

#26   #23 En efecto las funciones de la base de Gröbner tienen las mismas raíces que el polinomio original, pero como no me he encontrado nunca en la situación de tener que hacerlo, desconozco cómo se calcula dicha base.

#25 Cramer sólo se utiliza a nivel académico. Dado su coste computacional, en la práctica nadie en su sano juicio utilizaría ese método para resolver un sistema medianamente grande, habiendo otros métodos más rápidos.

#27   Lo que ocurre muchas veces en el mundillo selecto de las matemáticas es que las explicaciones que te dan no las entienden ni ellos. Muchas veces tienes la sensación que es más importante que se queden todos los asistentes con cara de idiota que dar una exlicación fácilmente digerible.

#28   #23 y se puede seguir despejando y sustituyendo una vez que tengas 2 de segundo grado (puesto que sabes despejar una ecuación de segundo grado). Lo malo ahora es que al sustituir de nuevo te queda una ecuación con raíces y todo, tendrías que agrupar a un lado los términos con raíces, al otro lado los términos sin raíces y elevar al cuadrado para quitarlas, con lo que te va a quedar un polinomio de grado mayor que 5 así que de forma algebraica no se podría resolver. No obstante hay métodos numéricos para resolverlo. Aparte, cada vez que despejas te queda que la variable despejada es un cociente, pero podría pasar que tanto numerador como denominador de esos cocientes sean 0 por lo que en un principio tendrías que estudiar aparte esos casos.

He probado a meter una ecuación del tipo que pides con coeficientes inventados por mi en el programa mathematica y lo resuelve, da la solución dependiendo de las soluciones de un polinomio de grado 6 (vamos, que de forma algebraica no se puede reducir a uno de grado menor). Y bueno, pues le he dicho que me de el valor aproximado y sin problemas me da 6 soluciones (6 ternas). Y no debe de haber más ya que el programa mathematica te avisa cuando hace algo que podría no dar todas las soluciones (y no ha avisado).

Si quieres una solución genérica me temo que no vas a poder (por no tenerla los polinomios de grados 6, aunque lo mismo en este caso particular podría tenerlo) pero si quieres resolver casos particulares, sí que podrías con métodos numéricos (ya sean métodos para varias variables, o para una tras reducirlo a una ecuación de una variable). Y para esto, pues está el programa mathematica como ya te he dicho, también se debe de poner con el wxmaxima (que es gratuito) y hay otras opciones. No sé si te ha servido de algo lo que te he dicho.

#29   #27 Créeme, es sólo la sensación. Qué más quisiera un matemático que la gente ajena al mundillo comprendiera la belleza de las mismas. El problema es que para explicar ciertas cosas se requiere un conocimiento previo. Y sin él es difícil explicar algo de cierta complejidad, en una materia que requiere tanta abstracción como las matemáticas.

Un saludo

#30   Por cierto, me choca que llegue a portada este meneo por un simple motivo, cierto que es un buen resumen de la demostración, pero se queda muy a medio (en otro caso sería larguísimo) y claro, el que ya más o menos se ha enterado del artículo es el que de hecho ya conocía la materia. Supongo que la mayoría de la gente ha meneado simplemente porque ha descubierto que no hay solución para estas ecuaciones y eso le ha llamado la atención.

#31   Qué curioso, no sabía yo eso de que a partir del grado 5 no había solución general...

#32   #28 Para eso ya utilizo un Newton Rapson, pero lo interesante es obtener la solución analítica.
La teoría dice que el sistema degenera en una ecuación de tercer orden. Así que debería de poder obtenerse una solución general.

#29 Lo que pasa es que se mueven en conceptos abstractos, pero a la hora programarlo, la computadora solo sabe operaciones aritméticas.

#33   Que hace esta noticia en portada? Estudio 3º de Matemáticas y no entiendo la demostración

#34   #32 Yo te lo decía porque usando un método numérico vas a poder sacar todas las raíces, que pensaba que tu problema era quedarte solo con algunas. Por cierto, ¿qué teoría dice que degenera en una de tercer orden? Creo que si partes de de un sistema de tercer orden (tienes un término xyz así que cada ecuación es de tercer orden), al reducir el número de ecuaciones te va a aumentar el orden. Otra cosa sería ya que los sistemas con los que estás trabajando cumplan alguna propiedad que permita simplificar el orden. Y como ejemplo te pongo un caso particular de tu ecuación, con muchos ceros, de hecho voy a eliminar el término de tercer orden en 2 ecuaciones y en una voy a dejar solo un término de primero orden. Al reducir estas ecuaciones en una ecuación, en un principio parece que de orden 4 no vas a poder bajar (y eso que es un caso particular más sencillo):

y=z
x=yz
xyz+xy+x+y+1=0

Si sustituyes de abajo para arriba queda esto:

y^4+y^3+y^2+y+1=0

De hecho si intentas hacer lo mismo despejando en otro orden te va a quedar el mismo polinomio pero con otra variable (osea, x^4+x^3+x^2+x+1=0 o z^4+z^3+z^2+z+1=0) y las soluciones de estos polinomios son las raíces quintas "no triviales" de -1 (por no triviales me refiero a distintas a -1). Y obviamente no podrías hacer un milagro por ahí para que la ecuación final en una de las 3 variables fuese de tercer grado, entre otras cosas porque en tal caso tendrías a lo sumo 3 soluciones cuando en el ejemplo que te he puesto salen 4. Por eso creo que hay algo mal en tu afirmación de que degenera en una de grado 3. Ah, por si fuera que es que solo te quedas con las soluciones reales (y en el ejemplo que te he puesto han salido complejas, culpa de haberme planteado un ejemplo sencillo), en el ejemplo que te he comentado que anteriormente probé con el programa mathematica dio la casualidad de que todas las soluciones eran reales y creo que para cada variable era todas distintas, por lo que con un polinomio de grado 3 te dejarías soluciones.

#33 no sé ahora, antiguamente la demostración "comentada" (que no explicada) en la noticia se daba en tercero.

#35   #33 A mí me la hicieron en 2º de Matemáticas

#30 Sí, es posible que sea por eso

#36   www.wolframalpha.com/examples/Math.html

mastermemorex, has probado wolfram alpha?